Radix-4 R2C DIT-FFT and C2R DIT-IFFT

Mon, 27 Apr 2026 00:00:00 GMT

数学原理

Complex to Complex (C2C) DIT-FFT

对于N点序列$x[n]$，它的离散傅里叶变换 Discrete Fourier Transform (DFT) 为 $$ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac{kn}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{kn},\ k=0,\ 1,\ \dots,\ N-1 $$ 将$x[n]$按奇偶索引拆分为两个长度为$M=N/2$的子序列： $$ x_{{e}}[n]=x[2n],\ x_{o}[n]=x[2n+1],\ n=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 $$ 则它的DFT可以表示为 $$ \begin{aligned} X[k]&=\sum_{n=0}^{N/2-1}x[2n]e^{-j2\pi k\frac{2n}{N}}+\sum_{n=0}^{N/2-1}x[2n+1]e^{-j2\pi k\frac{2n+1}{N}} \ &=\sum_{n=0}^{M}x_{e}[n]e^{-j2\pi \frac{kn}{M}}+e^{-j2\pi\frac{k}{N}}\sum_{n=0}^{M}x_{o}[n]e^{-j2\pi \frac{kn}{M}} \ &=\sum_{n=0}^{M}x_{e}[n]W_{M}^{kn}+W_{N}^{k}\sum_{n=0}^{M}x_{o}[n]W_{M}^{kn} \ &=E[k]+W_{N}^{k}O[k],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 \end{aligned} $$ 由于周期性$E\left[ k+\frac{n}{2} \right]=E[k],\ O\left[ k+\frac{n}{2} \right]=O[k]$与对称性$W_{N}^{k+2/N}=-W_{N}^{k}$，有 $$ X[k+M]=E[k]-W_{N}^{k}O[k],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 $$

Real to Complex (R2C) DIT-FFT

由于音频信号都是实信号（虚部均为0），将其当成复信号计算 FFT 时会产生很多不必要的冗余计算。可以将N点输入实序列$x[n]$按奇偶索引拆分为两个长度为$M=N/2$的子序列： $$ x_{{e}}[n]=x[2n],\ x_{o}[n]=x[2n+1],\ n=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 $$ 然后用偶数索引项作为实部，奇数索引项作为虚部，构造一个复序列： $$ z[n]=x_{{e}}[n]+jx_{{o}}[n],\ n=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 $$ 对这个复序列做$M$点复DFT： $$ Z[k]=\sum_{n=0}^{M-1}z[n]W_{M}^{kn}=E[k]+jO[k],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1\quad ① $$ 由于$x_{e}$和$x_{o}$都是实序列，故 $$ E^{}[k]=E[M-k],\ O^{}[k]=O[M-k],\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1 $$ 其中特殊点$E[0],O[0]$需要单独计算。又 $$ Z[M-k]=E[M-k]+jO[M-k]=E^{}[k]+jO^{}[k] $$ $$ Z^{}[M-k]=E[k]-jO[k],\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1\quad ② $$ ① + ②得 $$ E[k]=\frac{1}{2}(Z[k]+Z^{}[M-k]),\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1 $$ ① - ②得 $$ O[k]=-\frac{j}{2}(Z[k]-Z^{}[M-k]),\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1 $$ 故 $$ \begin{aligned} X[k]&=E[k]+W_{N}^{k}O[k] \ &=\frac{1}{2}[(Z[k]+Z^[M-k])-jW_{N}^{k}(Z[k]-Z^[M-k])],\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1 \end{aligned} $$ 又由于实数序列DFT的共轭对称性，有 $$ X[N-k]=X^[k],\ k=1,\ 2,\ \dots,\ M-1 $$ 两个特殊点 $$ \begin{aligned} X[0]&=E[0]+O[0] \ &=\mathrm{Re}{Z[0]}+\mathrm{Im}{Z[0]} \ X[M]&=E[M]+W_{N}^{M}O[M] \ &=E[0]-O[0] \ &=\mathrm{Re}{Z[0]}-\mathrm{Im}{Z[0]} \end{aligned} $$ 故有

$$X[0]=\mathrm{Re}{Z[0]}+\mathrm{Im}{Z[0]}, k=0$$

$$X[k]=\frac{1}{2}[(Z[k]+Z^[M-k])-jW_{N}^{k}(Z[k]-Z^[M-k])], k=1,\ 2,\ \dots,\ \frac{N}{2}-1$$

$$X[k]=\mathrm{Re}{Z[0]}-\mathrm{Im}{Z[0]}, k=\frac{N}{2}$$

$$X[k]=X^*[N-k], k=\frac{N}{2}+1,\ \frac{N}{2}+2,\ \dots,\ N-1$$

由此得到，要对$N$点实数序列做DFT时，可将这个实数序列当作一个$\frac{N}{2}$点的复序列，对这个复序列进行$\frac{N}{2}$点DFT，再由上式还原得到原本要求的$N$点DFT。

Complex to Real (C2R) IFFT

对于音频信号这样一个实信号，它的频域信号是具有共轭对称性的： $$ X[N-k]=X[k]^*,\ k=1,\ 2,\ ,\dots,\ N-1 $$ 故频谱信息只有一半是不重复的，也可以进行计算优化。前面 C2C DIT-FFT 的内容提到，将按奇偶索引拆分为两个长度为$M=N/2$的子序列后带入DFT定义可得 $$ \begin{aligned} X[k]&=E[k]+W_{N}^{k}O[k],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 \ X[k+M]&=E[k]-W_{N}^{k}O[k],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 \end{aligned} $$ 从这两个式子中反解得到$E[k]$和$O[k]$： $$ \begin{aligned} E[k]&=\frac{X[k]+X[k+M]}{2},\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 \ O[k]&=\frac{X[k]-X[k+M]}{2W_{N}^{k}},\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 \end{aligned} $$ 然后根据FFT与IFFT的线性性质，我们就只需要构造复序列： $$ T[k]=E[k]+jO[k] $$ 再对其进行$N/2$点IFFT： $$ x[n]=\text{IFFT}{T[k]}=x_{e}[n]+jx_{o}[n],\ k=0,\ 1,\ \dots,\ M-1 $$ 就得到了实部为时域偶数索引项，虚部为时域奇数索引项的复数信号，由于本身该算法在存储复数时实部和虚部就是交替存储的，得到的复数信号同时也是时域的实数信号，无需进行后处理。

Radix-4 DIT-FFT

本身我们需要做的是128点实数 FFT和复数IFFT，通过R2C和C2R的处理转化成了64点复数 FFT/IFFT，而由于64恰好是4的整数次幂，因此可将常用的 Radix-2 64点 FFT 改为Radix-4 64点 FFT，可将蝶形运算层数从6层缩减至3层，大幅减少循环次数与函数调用次数。设序列$x[n]$的长度$N=4^m$，通过抽取将$x[n]$分为四个长度为$\frac{N}{4}$的子序列如下： $$ \begin{aligned} x_{1}[n]&=x[4n] \ x_{2}[n]&=x[4n+1] \ x_{3}[n]&=x[4n+2] \ x_{4}[n]&=x[4n+3] \end{aligned} $$ 则$x[n]$的DFT可表示为 $$ \begin{aligned} X[k] & =\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{nk} \ & =\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n]W_N^{4nk}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+1]W_N^{(4n+1)k}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+2]W_N^{(4n+2)k}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+3]W_N^{(4n+3)k} \ & =\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n]W_{N/4}^{nk}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+1]W_{N/4}^{nk}W_N^k+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+2]W_{N/4}^{nk}W_N^{2k}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x[4n+3]W_{N/4}^{nk}W_N^{3k} \ & =\sum_{n=0}^{N/4-1}x_1[n]W_{N/4}^{nk}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x_2[n]W_{N/4}^{nk}W_N^k+\sum_{n=0}^{N/4-1}x_3[n]W_{N/4}^{nk}W_N^{2k}+\sum_{n=0}^{N/4-1}x_4[n]W_{N/4}^{nk}W_N^{3k} \ & =X_1[k]+W_N^kX_2[k]+W_N^{2k}X_3[k]+W_N^{3k}X_4[k] \end{aligned} $$ 其中，$X_{1}(k),\ X_{2}(k),\ X_{3}(k),\ X_{4}(k)$ 分别为$x_{1}[n],\ x_{2}[n],\ x_{3}[n],\ x_{4}[n]$ 的$\frac{N}{4}$点DFT，$k=1,\ 2,\ \dots,\ \frac{N}{4}-1$ 对于$k=\frac{N}{4}-1$之后的$X[k]$计算过程如下： $$ \begin{aligned} X[k+N/4]&=X_{1}[k]+W_{N}^{k+N/4}X_{2} [k]+W_{N}^{2(k+N/4)}X_{3}[k]+W_{N}^{3(k+N/4)}X_{4}[k] \ &=X_{1}[k]-jW_{N}^{k}X_{2}[k]-W_{N}^{2k}X_{3}[k]+jW_{N}^{3k}X_{4} [k] \ X[k+2N/4]&=X_{1}[k]+W_{N}^{k+2N/4}X_{2} [k]+W_{N}^{2(k+2N/4)}X_{3}[k]+W_{N}^{3(k+2N/4)}X_{4}[k] \ &=X_{1}[k]-W_{N}^{k}X_{2}[k]+W_{N}^{2k}X_{3}[k]-W_{N}^{3k}X_{4}[k] \ X[k+3N/4]&=X_{1}[k]+W_{N}^{k+3N/4}X_{2} [k]+W_{N}^{2(k+3N/4)}X_{3}[k]+W_{N}^{3(k+3N/4)}X_{4}[k] \ &=X_{1}[k]+jW_{N}^{k}X_{2}[k]-W_{N}^{2k}X_{3}[k]-jW_{N}^{3k}X_{4}[k] \end{aligned} $$ 用图表示上述过程：我们可以继续用上述的方法将每个子序列继续划分，直到最后序列长度为4。4点的DFT计算如下： $$ \begin{bmatrix}{X[0]}\ {X[1]}\ {X[2]}\ {X[3]}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&{1}\ {1}&-{j}&-{1}&-{j}\ {1}&-{1}&{1}&-{1}\ {1}&{j}&-{1}&{j}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{x[0]}\ {x[1]}\ {x[2]}\ {x[3]}\end{bmatrix} $$

失真效果器的制作

Thu, 17 Feb 2022 00:00:00 GMT

初次尝试

第一次开始尝试自制效果器还是在去年年底，在CSDN上找到了一个博主自制失真效果器的文章：自制电吉他效果器 DIY，便照着文章自己做了一下，电路板焊接还算成功，但是由于本身电路设计就很粗糙，最后测试音色感觉太干，不能拿去实际使用。

电路图绘制

采用Altium Designer软件，按照那位博主的电路图绘制。

PCB板绘制

其中有几个元件在原生库里没有封装，我自己画了封装，当时我还是第一次使用这个软件，过程还是蛮麻烦的。

PCB板打印&元件焊接

打印PCB板的厂家我选的是嘉立创，速度还行而且价格很便宜(甚至五张不超过10*10cm的样板免费)。

由于之前有焊接电路板的经验，焊接过程可以说是轻车熟路，不到两个小时就焊完了并且没出什么差错。

插上电源，接上吉他的时候发现能正常工作，还是蛮开心的。但是音色确实不太行。所以我又萌生了复刻大厂经典效果器的想法。

BOSS SD-1 Overdrive的复刻

BOSS在效果器行业的地位绝对是毋庸置疑的，并且发布于1981年的SD-1 Overdrive一直以来销量都很高，网络上也能找到现成的电路图，所以我选择先复刻这款经典效果器。

电路图绘制

PCB板绘制

之前第一次尝试画PCB板的时候有很多设计得不好的地方，这次我逐一做了改进。

元件分层设计

这次在元件的分布上我采用了双层设计，除发光二极管以外的贴片元件都放在了bottom layer，直插元件都放在了top layer，这样更方便焊接，也能缩小板子的面积，给top overlay层留出更大的空间印图案。

电源、输入输出接口位置调整

上次我画的电源接口的位置属实下饭，离板子边缘还有不小距离，导致没办法设计装壳。于是这次我专门等元件都到货之后再开始画封装和PCB板，量好各个元件的尺寸后将电源、输入输出接口的位置都调整到了板子边缘，方便装壳。

最终效果

PCB板打印&元件焊接

依旧嘉立创(免费打样+包邮，着实令人感动)。

暂停说明

最近这段时间一直在忙网页建设的事，板子到手后只焊了十个电阻，等我把bug改完就会继续开焊喽，到时候再继续更新这篇文章。

姬某人的小站

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初次尝试

电路图绘制

PCB板绘制

PCB板打印&元件焊接

BOSS SD-1 Overdrive的复刻

电路图绘制

PCB板绘制

元件分层设计

电源、输入输出接口位置调整

最终效果

PCB板打印&元件焊接

暂停说明